BZOJ3456: 城市规划 - NekoMio's Blog

Description#

刚刚解决完电力网络的问题, 阿狸又被领导的任务给难住了. 刚才说过, 阿狸的国家有n个城市, 现在国家需要在某些城市对之间建立一些贸易路线, 使得整个国家的任意两个城市都直接或间接的连通. 为了省钱, 每两个城市之间最多只能有一条直接的贸易路径. 对于两个建立路线的方案, 如果存在一个城市对, 在两个方案中是否建立路线不一样, 那么这两个方案就是不同的, 否则就是相同的. 现在你需要求出一共有多少不同的方案. 好了, 这就是困扰阿狸的问题. 换句话说, 你需要求出n个点的简单(无重边无自环)无向连通图数目. 由于这个数字可能非常大, 你只需要输出方案数mod 1004535809(479 * 2 ^ 21 + 1)即可.

Input#

仅一行一个整数n(<=130000)

Output#

仅一行一个整数, 为方案数 mod 1004535809.

Sample Input#

1
 3

Sample Output#

1
 4

HINT#

对于 100%的数据, n <= 130000

题解#

设无向图的生成函数为 $G(x)$ , 无向联通图的生成函数为 $f(x)$ $g(x) = 2^{C_n^2}$ 枚举无向图是由几个联通图构成的: $g(n) = \sum_{i = 1}^{n} { {n - 1} \choose {i - 1} } f(i) G(n - i)$ $2^{n \choose 2} = \sum_{i = 1}^{n} { {n - 1} \choose {i - 1} } f(i) 2^{ {n - i} \choose 2}$ 然后两边同时除以 $(n-1)!$ $\frac{2^{n \choose 2} }{(n-1)!} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{f(i)}{(i-1)!} \frac{2^{ {n - i} \choose 2} }{(n-i)!}$

定义函数 $F(x),G(x),C(x)$

$F(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{f(n)}{(n-1)!}x^n$
$G(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^{n \choose 2} }{n!}x^n$ $C(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^{n \choose 2} }{(n-1)!}x^n$

$C(x) = F(x)G(x)$

$C(x) \equiv F(x)G(x) mod { x^{n+1} }$

$F(x) \equiv C(x)G^{-1}(x) mod { x^{n+1} }$

多项式求逆

1
#include <cstdio>
2
#include <cstring>
3
#include <algorithm>
4
using namespace std;
5
inline int read()
6
{
7
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
8
    while (ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
9
    while (ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
10
    return x*f;
11
}
12
const int MOD = 1004535809;
13
const int MAXN = 1 << 18 + 1;
14
long long pow_mod(long long a, int b)
15
{
16
    long long ans = 1;
17
    while (b)
18
    {
19
        if (b & 1) ans = ans * a % MOD;
20
        b >>= 1;
21
        a = a * a % MOD;
22
    }
23
    return ans;
24
}
25
long long Inv;
26
int N;
27
int rev[MAXN];
28
void FFt(long long *a, int op)
29
{
30
    long long w, wn, t;
31
    for (int i = 1; i < N; i++)
32
        if (i < rev[i])
33
            swap(a[i], a[rev[i]]);
34
    for (int k = 2; k <= N; k <<= 1)
35
    {
36
        wn = pow_mod(3, op == 1 ? (MOD - 1) / k : MOD - 1 - (MOD - 1) / k);
37
        for (int j = 0; j < N; j += k)
38
        {
39
            w = 1;
40
            for (int i = 0; i < (k >> 1); i++, w = w * wn % MOD)
41
            {
42
                t = a[i + j + (k >> 1)] * w % MOD;
43
                a[i + j + (k >> 1)] = (a[i + j] - t + MOD) % MOD;
44
                a[i + j] = (a[i + j] + t) % MOD;
45
            }
46
        }
47
    }
48
    if (op == -1)
49
        for (int i = 0; i < N; i++)
50
            a[i] = a[i] * Inv % MOD;
51
}
52
long long tmp[MAXN];
53
void Get_Inv(int dep, long long *a, long long *b)
54
{
55
    if (dep == 1)
56
        return b[0] = pow_mod(a[0], MOD - 2), void();
57
    Get_Inv((dep + 1) >> 1, a, b);
58
    N = 1;
59
    while (N < (dep << 1))
60
        N <<= 1;
61
    Inv = pow_mod(N, MOD - 2);
62
    for (int i = 1; i < N; i++)
63
        if (i & 1)
64
            rev[i] = (rev[i >> 1] >> 1) | (N >> 1);
65
        else
66
            rev[i] = (rev[i >> 1] >> 1);
67
    copy(a, a + dep, tmp);
68
    fill(tmp + dep, tmp + N, 0);
69
    FFt(tmp, 1);
70
    FFt(b, 1);
71
    for (int i = 0; i < N; i++)
72
        b[i] = b[i] * ((2 - b[i] * tmp[i] % MOD + MOD) % MOD) % MOD;
73
    FFt(b, -1);
74
    fill(b + dep, b + N, 0);
75
}
76
long long F_Inv[MAXN];
77
long long F[MAXN];
78
long long C[MAXN], G[MAXN], G_Inv[MAXN];
79
int main()
80
{
81
    int n = read();
82
    F[0] = 1;
83
    for (int i = 1; i <= n; i++)
84
        F[i] = F[i - 1] * i % MOD;
85
    F_Inv[n] = pow_mod(F[n], MOD - 2);
86
    for (int i = n - 1; i >= 0; i--) F_Inv[i] = F_Inv[i + 1] * (i + 1) % MOD;
87
    for (int i = 0; i <= n; i++)
88
        G[i] = (i < 2) ? (1) : pow_mod(2, 1ll * i * (i - 1) / 2 % (MOD - 1)) * F_Inv[i] % MOD;
89
    for (int i = 0; i <= n; i++) C[i] = i * G[i] % MOD;
90
    Get_Inv(n + 1, G, G_Inv);
91
    N = 1;
92
    while (N <= n << 1)
93
        N <<= 1;
94
    Inv = pow_mod(N, MOD - 2);
95
    for (int i = 1; i < N; i++)
96
        if (i & 1)
97
            rev[i] = (rev[i >> 1] >> 1) | (N >> 1);
98
        else
99
            rev[i] = (rev[i >> 1] >> 1);
100
    FFt(G_Inv, 1), FFt(C, 1);
101
    for (int i = 0; i < N; i++) C[i] = C[i] * G_Inv[i] % MOD;
102
    FFt(C, -1);
103
    printf ("%d\n", C[n] * F[n - 1] % MOD);
104
    // while (1);
105
}